Question

如图，矩形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=y，把它折叠起来，使顶点A与C重合，则折痕PQ的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由翻折可得到QP垂直平分AC，那么AQ=QC，易证△APO≌△CQO，再利用勾股定理求出AP的长，进而利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，求出PQ的长即可．
【解析】
∵A，C两点关于PQ对称，所以AO=CO，
∵AC⊥QP，从而∠AOP=∠QOC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠APQ=∠PQC．
∴△APO≌△CQO，
∴CQ=AP，
由PQ⊥AC且平分AC，可知AQ=CQ．
∴四边形AQCP是菱形，
设AP=a，则AQ=a，DQ=x-a，
在Rt△ADQ中，利用勾股定理可知：a2=y2+（x-a）2，
∴整理得：2ax=x2+y2，
解得a=，
菱形AQCP的面积为：PQ•AC=CQ•AD，
∴PQ×=×y，
整理得：PQ×=×y，
解得：PQ=．
故选：A．