Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点．
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切．为什么？
（2）当点D在劣弧的什么位置时，才能使AD²=DE•DF．为什么？

Answer

（1）PC与⊙O相切时，OC⊥PC，根据已知可得到此时PC=PF或∠PCF=∠PFC或△PCF为等边三角形；
（2）要使AD2=DE•DF，则有△DAF∽△DEA，根据已知即可求得此时点D在弧AC的中点．
【解析】
（1）当PC=PF（∠PCF=∠PFC或△PCF为等边三角形）时，PC与⊙O相切．
连接OC，则∠OCA=∠FAH
∵PC=PF
∴∠PCF=∠PFC=∠AFH
∵DE⊥AB于H
∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°
即OC⊥PC
∴PC与⊙O相切

（2）当点D是弧AC的中点时，AD2=DE•DF．
连接AE
∵弧AD=弧CD
∴∠DAF=∠DEA
∵∠ADF=∠EDA
∴△DAF∽△DEA
∴
即AD2=DE•DF．