Question

如图，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，AB=BC，P是AB上的一个动点（不运动至点B、A），过点P引⊙O的另一条切线PD切⊙O于D，CQ⊥BC交PD的延长线于Q，连接AC与PQ交于点E（如图1）．
（1）若点P运动到某一位置时，点D与点E重合（如图2），试指出并说明此时PQ与BC的位置关系．
（2）连接OP、OQ（如图3），求证：不论P运动到何处，都有OP⊥OQ．
（3）若AE：EC=1：2，AB=2，请你确定点P的位置．

Answer

（1）连接OD，BD，由AB是⊙O的切线，AB=BC，根据切线的性质与等腰三角形的性质，即可得∠ABC=90°，∠ACB=45°，又由PD切⊙O于D点，易证得∠ADP=∠ACB，根据同位角相等，两直线平行，即可得PQ∥BC；
（2）连接OD，可证Rt△PBO≌Rt△PDO，Rt△QDO≌Rt△QCO，即可得∠POB=∠POD，∠DOQ=∠COQ，则可证得OP⊥OQ；
（3）易证得AB∥CQ，则可得△APE∽△EQC，根据相似三角形的对应边成比例，可得，设AP=x，则CQ=2x，可证得△PBO∽△OCQ，可得，继而可求得答案．
【解析】
（1）PQ∥BC，
理由是：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的切线，AB=BC，
∴∠ABC=90°，∠ACB=45°，
又∵PD切⊙O于D点，
∴∠PDO=90°，
在Rt△BDC中，∠DBC=∠ACB=45°，
又∵∠ADB=∠ADP+∠BDP=∠BDO+∠PDB=∠PDO，
∴∠ADP=∠BDO=45°，
∴∠ADP=∠ACB，
∴PQ∥BC；      

（2）连接OD，
∵AB是⊙O的切线，切线PD切⊙O于D，
∴∠B=∠PDO=90°，
∵OB=OD，PO=PO，
∴Rt△PBO≌Rt△PDO（HL），
同理：Rt△QDO≌Rt△QCO，
∴∠POB=∠POD，∠DOQ=∠COQ，
∴∠POD+∠QOD=90°，
∴OP⊥OQ；

（3）∵PB⊥BC，CQ⊥BC，
∴AB∥CQ，
∴△APE∽△QCE，
∴，
设AP=x，则CQ=2x，
∵PO⊥OQ，
∴∠POB+∠OPB=∠POB+∠COQ=90°，
∴∠BPO=∠COQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴△PBO∽△OCQ，
∴，
∴，
解得：x=，
∴当P点离A点处时满足题目条件．