Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，BC=4cm，点P、Q分别从A、C两点出发，点P沿射线AB、点Q沿BC的延长线均以1cm/s的速度作匀速直线运动．
（1）求∠B的度数；
（2）若P、Q同时出发，当AP的长为何值时，S_△PCQ是S_梯形ABCD的一半？
（3）设PQ交直线CD于点E，作PF⊥CD于F，若Q点比P点先出发2秒，请问EF的长是否改变？证明你的结论．

Answer

（1）过A点作AG⊥BC，垂足为G，首先根据题干条件证明梯形ABCD是等腰梯形，然后在Rt△AFB中求出cosB的值，于是求出∠B的大小．
（2）首先求出AF的长和梯形ABCD的面积，再分类讨论，①当0＜t≤2时，CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×，求出三角形PCQ的面积，最后列示求出t的值，②t＞2时，CQ=t，△CPD的高h=（t-2）×，求出三角形PCQ的面积，最后列示求出t的值，
（3）设BC中点为H，连接AH，DH，作辅助线PX‖BC交CD于X，交AH为Y，根据条件证明△PXE∽△CQE，利用等腰梯形的性质求出PX和XE的长，利用FE=FX+XD即可证明EF是定值．
【解析】
（1）过A点作AG⊥BC，垂足为G，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2cm，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴BG=1，
∴cosB==，
∴∠B=60°；

（2）在Rt△AGB中，
AG=，
∴S梯形ABCD=（AD+BC）×AG=3，
设经过时间t（t≤2）后，S△PCQ是S梯形ABCD的一半，
CQ=t，△CPD的高h=（2-t）×，
∴S△PCQ=CQ•h=t•（2-t）×，
当S△PCQ是S梯形ABCD的一半时，
t•（2-t）×=，
解得t不存在，
当t＞2时，
P点在AB的延长线上，
△CPD的高h=（t-2）×，CQ=t，
当S△PCQ是S梯形ABCD的一半时，
t•（t-2）×=，
解得t=1+s；

（3）设BC中点为H，连接AH，DH，
作辅助线PX∥BC交CD于Y，交AH为X，
显然三角形APX是正三角形，AP=PX；
AYXD是平行四边形，AD=XY．
由于PY∥BC，很容易得出△PYE∽△CQE，
又Q点比P点先出发2秒，均以1cm/s的速度作匀速直线运动，
就是说CQ比AP长2cm，
CQ=2+AP，
同时PX=XY+PX=AD+AP=2+AP，
∴CQ=PY，
∴PYE与CQE全等，YE=EC，
∵PY∥BC而梯形ABCD是底角为60度的等腰梯形，
∠FYP=60°，
∴FY=PY•cos60°=PY=（PX+XY）=（AP+2）=AP+1
∵PY∥BC，所以APXD也是底角为60°的等腰梯形AP=DX，且AP：PB=DX：XC，而XE=EC，
∴YE=（DC-DY）=（2-DY）=（2-AP）=1-AP，
FE=FY+YD=AP+1+1-AP=2，
故EF的长度不变．