Question

把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．
（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时（如图①），求GH：GK的值；
（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°（如图②），EG交AC于点K，GF交BC于点H，GH：GK的值是否改变？证明你发现的结论；
（3）在②下，连接HK，在上述旋转过程中，设GH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）三角板EFG由图①所示的位置绕O点逆时针旋转时，0°＜α≤90°，是否存在某位置使△BFG是等腰三角形？若存在，请直接写出相应的旋转角α；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据30°的直角三角形的三边关系，利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度，利用三角形的中位线可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值．
（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变．
（3）△GKH是直角三角形，两直角边的比知道，可以把GK也用x的式子表示出来，最后直接利用三角形的面积公式就可以求出函数的解析式．
（4）当逆时针旋转30°或90°时，如图就可以证明△EGH≌△FBH，得到∠GEK=∠GFB，从而得到∠FGB=∠GFB，得到边相等，得出结论，旋转90°时 也是得出∠BGF=∠F，而得到结论．
【解析】
（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°
∴AC=AB，EG=EF
∵AB=EF=4
∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得
BC=GF=2
∵GE⊥AC，GF⊥BC
∴GE∥BC，GF∥AC
∵G是AB的中点
∴K，H分别是AC、CB的中点
∴GK，GH是△ABC的中位线
∴GK=BC=
GH=AC=1
∴GH：GK=1；

（2）不变，
理由如下：作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，
∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知：
∠2=∠1
∴△GMK∽△GNH
∴
∵GN：GM=1：
∴GH：GK=1：
∴旋转角α满足条件：0°＜α＜30°时，GH：GK的值比值不变．

（3）连接KH，∵∠EGH=90°
∴S△KGH=
∵GH=x，且GH：GK=1：
∴x：GK=1：
∴GK=x
∴y=
（），

（4）存在，如下图，当α=30°或α=90°时，△BFG是等腰三角形．