Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，∠B=2∠E．
（1）求证：AB=DC；
（2）若tanB=2，AB=，求边BC的长．

Answer

（1）要求证：AB=DC，即证明梯形是等腰三角形，只要证明∠B=∠BCD就可以．
（2）作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则BC=BF+FG+GC，因而本题就可以转化为求BF，FG，GC的长度的问题，根据勾股定理就可以求出．
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BCA=∠E．（1分）
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD=2∠BCA，（1分）
∴∠BCD=2∠E，（1分）
又∵∠B=2∠E，
∴∠B=∠BCD．（1分）
∴梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC．（2分）

（2）【解析】
如图，作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G，则AF∥DG．
在Rt△AFB中，tanB=2，∴AF=2BF．（1分）
又∵AB=，且AB2=AF2+BF2，
∴5=4BF2+BF2，得BF=1．（1分）
同理可知，在Rt△DGC中，CG=1．（1分）
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．
又∵∠ACB=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=DC．∵DC=AB=，∴AD=．（1分）
∵AD∥BC，AF∥DG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴FG=AD=．（1分）
∴BC=BF+FG+GC=2+．（1分）