Question

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，△ABD，△BCE和△ACF．
（1）求证：△DBE≌△ABC≌△FEC；
（2）判断四边形ADEF的形状并证明你的结论；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF为矩形？（写出猜想即可，不要求证明）
（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF为菱形？（写出猜想即可，不要求证明）

Answer

（1）根据∠DBE=∠ABC，BD=BA，BE=BC，可证明△DBE≌△ABC，同理可证明△ABC≌△FEC，继而得证；
（2）由（1）知DE=AC=AF，FE=AB=AD，则四边形ADEF是个平行四边形；
（3）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（4）当AB=AC时，四边形ADEF为菱形．
证明：（1）∵∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，BD=BA，BE=BC，
∴△DBE≌△ABC（SAS），
同理可证：△ABC≌△FEC，
∴△DBE≌△ABC≌△FEC；

（2）∵△DBE≌△ABC≌△FEC，
∴DE=AC=AF，FE=AB=AD，
∴四边形ADEF是个平行四边形；

（3）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（4）当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时，即AB=AC时，
由第（2）题中可知四边形ADEF的四边都相等，此时四边形ADEF是菱形．