Question

设A，A₁，…，A_n-1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形A₃A₄A₅A₆、七边形A_n-2A_n-1AA₁A₂A₃A₄等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是     ，此时正n边形的面积是     ．

Answer

先通过找规律找出P与n的关系式 P=n2-n+1，再化为P=（n-）2+，由于n≥3，故P值越大，n取值越大． 在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大，从而得出关于n的方程求解即可．
【解析】
用找规律找出P与n的关系式
不难发现，P与n有下表所列的关系

n 3 4 5 6
P 1
（0+1）=（3-3）×3÷2+1 3
（2+1）=（4-3）×4÷2+1 6
（5+1）=（5-3）×5÷2+1 10
（6+3+1）=（6-3）×6÷2+1

因此，P=（n-3）•n÷2+1，即P=n2-n+1．
P=n2-n+1可以化为P=（n-）2+，
由于n≥3，故P值越大，n取值越大．
在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，
故其面积取最小值1时，P值最大
代入各值，得：231÷1=n2-n+1，
整理得：n2-3n-460=0
解得n=23或n=-20（不合题意，舍去）
故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1． 
故答案为：23，1．