Question

如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，现有两个动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以每秒2个单位的速度沿A⇒B方向运动，点Q以每秒1个单位的速度沿C⇒D方向运动，当一点到达终点时，另一点停止运动．过点P作PE⊥CD于E，交DB于点F，连接AF、QF，设运动时间为t秒．
（1）记△DFQ的面积为S，求出S关于t的函数关系式和自变量t的取值范围；
（2）当△ADF与△BDC相似时，求tan∠QFE的值；
（3）是否存在t，使得△DFQ为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）三角形DFQ中，底边DQ的长可用CD、CQ得出，QD边上的高即EF的长，可在直角三角形DEF中，根据DE的长（即AP的长）和∠CDB的正弦值求出．进而可根据三角形的面积计算公式求出S，t的函数关系式．由于P、Q两点中当一点到达终点时，另一点停止运动，因此可根据P点的速度和AB的长来求出t的取值范围．
（2）由于∠CDB=∠ADF，因此本题分两种情况：①∠AFD=∠BCD，即△ADF∽△ABC，可根据对应线段成比例求出AP的长，即可得出EF，QE的长，据此可求出∠QFE的正切值．②∠DAF=∠DCB，即△DAF∽△BCD，解法同①
（3）分三种情况：
①FQ=FD，根据等腰三角形三线合一的特点可知此时QE=ED，可据此求出t的值．
②DQ=DF，DQ的长可用CD-CQ表示出，DF的长，可在直角三角形DEF中，用DE和∠CDB的余弦值求出．然后联立这两个含t的表达式相等即可得出t的值．
③QF=QD，可直接在直角三角形QEF中用勾股定理求出t的值．
【解析】
（1）∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠BDC=∠ABD=45°
又∵PE⊥CD，
∴△EDF和△BPF都为等腰直角三角形
∴EF=DE=AP=2t，DF=t
又∵DQ=8-t
∴s=DQ•EF=（8-t）•2t=-t2+8t
自变量t的取值范围是0≤t≤4．

（2）当△ADF与△BDC相似时，
∵∠ADF=∠BDC=45°，
∴或
由，
得，t=2
这时EF=4，QE=8-3t=2
∴tan∠QFE==
由，
得=，t=4．
这时，点F与B重合，点E与C重合
∴tan∠QFE=tan∠QBC=．

（3）①当FQ=FD时，QE=ED，即8-3t=2t，5t=8，t=1.6；
②当DQ=DF时，即8-t=2t，t==；
③当QF=QD时，QE2+EF2=QD2，即（8-3t）2+（2t）2=（8-t）2，t=．
综上所述，存在t的值，分别为t=1.6或t=或时，△DFQ为等腰三角形．