Question

已知二次函数的图象与x轴交于点A（，0）、点B，与y轴交于点C．
（1）求点B坐标；
（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．
①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数图象的对称轴上；
②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer

（1）将A（，0）代入抛物线解析式可求m的值，得到抛物线解析式，令y=0求x的值，得到B对坐标；
（2）①可根据解析式可得出点C点的在坐标，和函数的对称轴；在Rt△AOC讨论，可得AQ=A′Q，同时，过点A′作A′H⊥x轴，此时可根据两个等量式即可得出QH的长，从而可得出t的值，
②此时要分情况讨论，分当0＜t≤1时和当1＜t＜2时的情况，利用三角函数的知识和四边形求面积的知识即可得出．
【解析】
（1）将A（，0）代入y=-mx2+3mx-2，
解得m=，
∴函数的解析式为y=-x2+x-2，
令y=0，解得：x1=，x2=2，
∴B（，0）；

（2）①由解析式可得点C（0，-2）
二次函数图象的对称轴为直线，
在Rt△AOC中，∵OC=2，OA=2，
∴tan∠OAC==，
∴∠OAC=30°，∠OCA=60°，
∴∠PQA=150°，∠A′QH=60°，AQ=A′Q
过点A′作A′H⊥x轴于点H，则QH=AH
∴，
解得QH=，
则AQ=，CP=1
∴t=1，
②分两种情况：
（I）当0＜t≤1时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA′N．
NQ=A′Q==A′Qsin60°====，
当t=1时，有最大值．
（II）当1＜t＜2时，设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形MOQA′，
S四边形MOQA′=S梯形PQA'C′-S△OPQ-S△PC'M，
=，
=，
当时，有最大值，
综上：当时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积有最大值是．