Question

如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．
（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

Answer

（1）B，E，F三点共线时，满足△FED∽△FBC，结合行程问题可以得出关于t的比例式，求出t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，可以将四边形BCFE的面积分成S△BCE，S△BCF两部分，结合（1）确定t的取值范围；
（3）根据等腰三角形的性质，分EF=EC，EC=FC，EF=FC三种情况讨论；
（4）∠BEC=∠BFC．可以转化为∠BEC=∠BCE．即BE=BC．得出关于t的方程，求出值．
【解析】
（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．（1分）
由题意可知：ED=t，BC=8，FD=4-2t，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴．
∴．
解得t=4．
∴当t=4时，两点同时停止运动；（3分）

（2）∵ED=t，CF=2t，
∴S=S△BCE+S△ECF=×8×4+×2t×t=16+t2．
即S=16+t2．（0≤t＜4）；（6分）

（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF2=（2t-4）2+t2=5t2-16t+16，
EC2=42+t2=t2+16，
∴5t2-16t+16=t2+16．
∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，
∵EC2=42+t2=t2+16，FC2=4t2，
∴t2+16=4t2
．∴；
③若EF=FC时，
∵EF2=（2t-4）2+t2=5t2-16t+16，FC2=4t2，
∴5t2-16t+16=4t2．
∴t1=8+4（舍去），t2=8-4．
∴当t的值为4，，8-4时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；（9分）

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．                                     （10分）
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE2=t2-16t+80，
∴t2-16t+80=64．
∴t1=8+4（舍去），t2=8-4．
∴当t=8-4时，∠BEC=∠BFC．                                       （12分）