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如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,AE切⊙O于点A,交BC的延长...

如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为点M,AE切⊙O于点A,交BC的延长线于点E,连接AC.
(1)若∠B=30°,AB=2,求CD的长;
(2)求证:AE2=EB•EC.

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(1)由于AB是直径,所以有∠ACB=90°,在Rt△ABC中,利用∠B的余弦值可求出BC,再在Rt△BMC中,利用∠B的正弦值,可求CM,利用垂径定理可知CD=2CM,即可求CD; (2)由于AE是切线,利用弦切角定理可知∠EAC=∠EBA,再加上一对公共角,容易证出△EAC∽△EBA,那么可得比例线段,即可证. (1)解法一: ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°.                       (1分) 在Rt△ABC中,∠B=30°,AB=2, ∴BC=AB•cos30°=2×.        (2分) ∵CD⊥AB,∠B=30°, ∴CM=,BC=,(4分) CD=2CM=;(5分)(其它解法请酌情给分) 解法二: ∵AB为⊙O的直径,∠B=30°, ∴AC=AB=1,BC=AB•cos30°=.      (2分) ∵CD⊥AB于点M, ∴CD=2CM,AB×CM=AC×BC,(4分) ∴CD=2CM=2×=2×=;(5分) (2)证明: ∵AE切⊙O于点A,AB为⊙O的直径, ∴∠BAE=90°,∠ACE=∠ACB=90°,(6分) ∴∠ACE=∠BAE=90°.                 (7分) 又∵∠E=∠E, ∴Rt△ECA∽Rt△EAB,(8分) ∴,(9分) ∴AE2=EB•EC.                       (10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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