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如图所示,A、B两城市相距100km,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线...

如图所示,A、B两城市相距100km,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上,已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内,请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?(参考数据:manfen5.com 满分网≈1.732,manfen5.com 满分网≈1.414)

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过点P作PC⊥AB,C是垂足.AC与BC就都可以根据三角函数用PC表示出来.根据AB的长,得到一个关于PC的方程,解出PC的长.从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区. 【解析】 过点P作PC⊥AB,C是垂足. 则∠APC=30°,∠BPC=45°, AC=PC•tan30°,BC=PC•tan45°. ∵AC+BC=AB, ∴PC•tan30°+PC•tan45°=100km, ∴PC=100, ∴PC=50(3-)≈50×(3-1.732)≈63.4km>50km. 答:森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径,所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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