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已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,AD=5,AB=DC=2. (1)...

已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,AD=5,AB=DC=2.
(1)如图,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A,求AP的长;
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q.
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②当CE=1时,写出AP的长.(不必写解答过程)

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(1)当∠BPC=∠A时,∠A+∠APB+∠ABP=180°,而∠APB+∠BPC+∠DPC=180°,因此∠ABP=∠DPC,此时三角形APB与三角形DPC相似,那么可得出关于AP,PD,AB,CD的比例关系式,AB,CD的值题中已经告诉,可以先用AP表示出PD,然后代入上面得出的比例关系式中求出AP的长. (2)①与(1)的方法类似,只不过把DC换成了DQ,那么只要用DC+CQ就能表示出DQ了.然后按得出的关于AB,AP,PD,DQ的比例关系式,得出x,y的函数关系式. ②和①的方法类似,但是要多一步,要先通过平行得出三角形PDQ和CEQ相似,根据CE的长,用AP表示出PD,然后根据PD,DQ,QC,CE的比例关系用AP表示出DQ,然后按①的步骤进行求解即可. 【解析】 (1)∵ABCD是梯形,AD∥BC,AB=DC. ∴∠A=∠D ∵∠ABP+∠APB+∠A=180°,∠APB+∠DPC+∠BPC=180°,∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC, ∴△ABP∽△DPC ∴,即: 解得:AP=1或AP=4. (2)①由(1)可知:△ABP∽△DPQ ∴,即:, ∴(1<x<4).   ②当CE=1时,AP=2或.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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