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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B...

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)点Q在直线BC上方的抛物线上,且点Q到直线BC的距离最远,求点Q坐标.

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(1)将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值; (2)根据(1)得到的函数解析式,可求出D、C的坐标;易证得△OBC是等腰Rt△,若过A作BC的垂线,设垂足为E,在Rt△ABE中,根据∠ABE的度数及AB的长即可求出AE、BE、CE的长;连接AC,设抛物线的对称轴与x轴的交点为F,若∠APD=∠ACB,那么△AEC与△AFP,根据得到的比例线段,即可求出PF的长,也就求得了P点的坐标; (3)当Q到直线BC的距离最远时,△QBC的面积最大(因为BC是定长),可过Q作y轴的平行线,交BC于S;根据B、C的坐标,易求出直线BC的解析式,可设出Q点的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式,分别表示出Q、S的纵坐标,即可得到关于QS的长以及Q点横坐标的函数关系式,以QS为底,B、C横坐标差的绝对值为高可得到△QBC的面积,由于B、C横坐标差的绝对值为定值,那么QS最长时,△QBC的面积最大,此时Q离BC的距离最远;可根据上面得到的函数的性质求出QS的最大值及对应的Q点横坐标,然后将其代入抛物线的解析式中,即可求出Q点的坐标. 【解析】 (1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),B(-3,0), ∴ 解得: ∴抛物线的解析式为y=-x2-4x-3(4分) (2)由y=-x2-4x-3 可得D(-2,1),C(0,-3) ∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2 可得△OBC是等腰直角三角形 ∴∠OBC=45°,(5分) 如图,设抛物线对称轴与x轴交于点F, ∴ 过点A作AE⊥BC于点E ∴∠AEB=90° 可得,(6分) 在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF, ∴△AEC∽△AFP(7分) ∴,, 解得PF=2(8分) ∵点P在抛物线的对称轴上, ∴点P的坐标为(-2,2)或(-2,-2)(9分) (3)设直线BC的解析式y=kx+b, 直线BC经过B(-3,0),C(0,-3), ∴ 解得:k=-1,b=-3, ∴直线BC的解析式y=-x-3(10分) 设点Q(m,n),过点Q作QH⊥BC于H,并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S,则S点坐标为(m,-m-3) ∴QS=n-(-m-3)=n+m+3(11分) ∵点Q(m,n)在抛物线y=-x2-4x-3上, ∴n=-m2-4m-3 ∴QS=-m2-4m-3+m+3 =-m2-3m = 当m=时,QS有最大值(12分) ∵BO=OC,∠BOC=90°, ∴∠OCB=45° ∵QS∥y轴, ∴∠QSH=45° ∴△QHS是等腰直角三角形; ∴当斜边QS最大时QH最大;(13分) ∵当m=时,QS最大, ∴此时n=-m2-4m-3=-+6-3=; ∴Q(-,);(14分) ∴Q点的坐标为(-,)时,点Q到直线BC的距离最远. (注:1、如果学生有不同的解题方法,只要正确,可参考评分标准,酌情给分;2、对第(3)题,如果只用△=0求解,扣(2分).理由:△=0判断只有一个交点,不是充分条件)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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