Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED．
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长．

Answer

（1）由于△ABC是等边三角形，易知∠A=60°，∠ACF=120°；而CE平分∠ACF，可得∠A=∠DCE=60°，又已知了一组对顶角，两组对应角相等，可判定所求的两个三角形相似；
（2）由于△ABC是等边三角形，则AC=BC=6，由此可求出AC、CD的长；过B作BM⊥AC于M，根据等边三角形的性质知AM=MC，由此可求出MD、MB的长，进而可由勾股定理求出BD的长；根据（1）的相似三角形，可得出关于AD、CD，BD、DE的比例关系式，即可求出DE的长，从而由BE=BD+DE求出BE的长．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°；
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=60°；
∴∠BAC=∠ACE；（2分）
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；（4分）

（2）【解析】
作BM⊥AC于点M，AC=AB=6，在Rt△ABM中
∴AM=CM=3，BM=AB•sin60°=；
∵AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，MD=1；（6分）
在Rt△BDM中，BD==；（7分）
由（1）△ABD∽△CED得，，，
∴ED=，
∴BE=BD+ED=．（8分）