Question

如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线，例如平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有______；
（2）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE=AB，连接AE，那么有S_梯形ABCD=S_△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S_△ADC＞S_△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．

Answer

（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：一定是三角形的面积等分线的是三角形的中线所在的直线；
（2）根据等底等高可得S△ABC=S△AEC，即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法，可以先作DE的垂直平分线，找到DE的中点G，再连接AG即可；
（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照（2）进行．
【解析】
（1）中线所在的直线；（2分）

（2）方法一：连接BE，因为AB∥CE，AB=CE，所以四边形ABEC为平行四边形，
所以BE∥AC（3分），
所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
所以有S△ABC=S△AEC，
所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．（5分）
方法二：设AE与BC相交于点F．
因为AB∥CE所以∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，
又因为AB=CE，
所以△ABF≌△ECF，（4分）
所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．（5分）
过点A的梯形ABCD的面积等分线的画法如图所示：作DE的垂直平分线，交DE于G，连接AG．则AG是梯形ABCD的面积等分线；

（3）能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．
因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC=S△AEC，
所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．（8分）
因为S△ACD＞S△ABC，
所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：
（10分）