Question

如图，已知直线y=-x+5与y轴、x轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动．过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N．
①设点P运动的时间为t，点P在运动过程中，若以MN为直径的圆与y轴相切，试求出此时t的值；
②是否存在这样的t值，使得CN=DM？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）令直线的解析式中x=0，可求出B点坐标，令x=0，可求出A点坐标．然后将A、B的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式．
（2）①以MN为直径的圆与y轴相切时，P点横坐标等于此时抛物线与直线AB函数值差的一半，据此来列等量关系求出P点的坐标，也就求出了t的值．
②如果CN∥AB，那么此时CN必与DM相等（因为此时四边形CDMN是平行四边形），可根据直线AB的斜率和C点坐标求出直线CN的解析式，联立抛物线的解析式可得出N点的坐标，根据抛物线的对称性和平行线分线段成比例定理可知，N点关于抛物线对称轴的对称点也应该符合这个条件，由此可求出两个符合条件的t的值．
【解析】
（1）A、B两点的坐标分别为（0、5）、（5、0），
抛物线的解析式为y=-x2+4x+5；

（2）①由题意知：P（5-t，0）．
∴N（-（5-t）2+4（5-t）+5，y）
∴MN=yN-yM=-（5-t）2+4（5-t）+5-（-5+t+5）=-t2+5t
∵以MN为直径的圆与y轴相切
∴-t2+5t=2（5-t），
即t2-7t+10=0，
解得t=2，t=5（不合题意舍去）
∴t的值为2；
②当CN∥DM时，CN=DM，
∵CN∥DM，直线AB的解析式为：y=-x+5
设直线CN的解析式为y=-x+h，易知：C（2，9）．
∴直线CN的解析式为y=-x+11．
联立抛物线的解析式有：
-x+11=-x2+4x+5，
解得x=2，x=3．
因此N点的横坐标为3，此时t=5-3=2．
根据抛物线的对称性可知：N点关于抛物线对称轴的对称点N′也应该符合条件，
因此N′的横坐标为1，此时t=5-1=4
∴t的值为2或4．