Question

已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A（-4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个单位运动．连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点（如图）．
（1）在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围是______，并写出当t=2时，点C的坐标______．
（2）在点P移动的过程中，△PMQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）在点P移动的过程中，求四边形MCDQ的面积S的范围．

Answer

（1）如果设直线AB与y轴的交点为R的话，如果要使M、Q、D、C能构成四边形，那么P点必在线段AB上运动，且不在直线QM上．由此可求出t的取值范围；当t=2时，PR=2，根据MR：OM=2：1，可得出OC=1．即C（1，0）；
（2）如果△PMQ是轴对称图形，那么△PMQ必为等腰三角形，应有两个符合条件的P点：
①P在MQ的垂直平分线上，可设出P点的坐标，然后用坐标系两点间的距离公式表示出PQ，PM，由于此时PQ=PM，据此可求出P的坐标；
②根据Q和M的坐标可知：如果连接RQ，那么三角形MQR是等腰直角三角形，因此R点即（0，3）也符合条件．（当PQ=QM时，在直线AB上，还有一点，但是那点在直线QM上，因此不合题意舍去）；
（3）本题只需求出S的最大值即可，分三种情况讨论：
①当0≤t＜4时，过Q作QM⊥x轴于N，此时四边形MCQD的面积可用梯形MQNO的面积+三角形QND的面积-三角形MOC的面积求得．由此可得出关于S，t的函数关系式；
②当4≤t≤5时，其面积可用梯形MOQN的面积+三角形MCO的面积+三角形QND的面积求得；
③当5＜t≤8（t≠6）时，其面积可用四边形三角形QNC的面积-梯形MONQ的面积-三角形MOD的面积求得；
根据上述三种情况得出的函数关系式及各自的自变量取值范围，可求出S的最大值，即可得出S的取值范围．
【解析】
（1）0≤t≤8，且t≠6；点C的坐标为（1，0）；

（2）若△PMQ可能是轴对称图形，则△PMQ必为等腰三角形．
①当PQ=PM时，设P点坐标为P（a，3），则有：
PQ==，
易知MQ=，
∴=，
解得a=2，a=0，
当a=2时，AP=4+2=6，即t=6不合题意，舍去．
∴P点坐标为（0，3）；
②当PM=MQ时，设P点坐标为P（b，3），则有：
PQ=，PM=，
∴=，
解得b=-1，
∴P点坐标为（-1，3）．
综上所述：点P的坐标为（-1、3）、（0、3）；

（3）当0≤t＜4时，S=-t+，Smax=．
当4≤t≤5时，S=-t+，Smax=；
当5＜t≤8，S=t-，Smax=；
∴四边形MCDQ的面积S的范围是0＜S≤．