Question

将所有质数从小到大依次排列为p₁，p₂，p₃，…，证明：当n≥2时，p_n+p_n+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数（在这些正整数中，允许有相同的数）的乘积．

Answer

将所有质数从小到大依次排列为p1，p2，p3，…，首先可从n=2去分析，可得pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2，即可得pn+pn+1可以表示为三个不小于2的正整数的乘积，然后分析n＞2时的情况，可得Pn和Pn+1一定是奇数，然后设Pn=2k+1，Pn+1=2m+1，然后根据数的奇偶性质可得m+k+1只能是合数，则可得pn+pn+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1）=2×A×B，则可证得结论正确．
【解析】
∵将所有质数从小到大依次排列为p1，p2，p3，…，
∴当n=2时，p2=3，p3=5，
∴pn+pn+1=p2+p3=8=2×2×2；
∴当n＞2时，Pn和Pn+1一定是奇数（否则可以被2整除，就不是质数了），
∴它们可以表示成2k+1的形式，
∴Pn=2k+1，Pn+1=2m+1，
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1），
∵pn＜pn+1，
∴m＞k，
∴m+k+1＞2k+1=Pn，
∴m+k+1＜2m+1=Pn+1，
∵pn和pn+1是连续质数，
∴处于它们之间的数m+k+1只能是合数，能被表示为A×B的形式，
∴pn+pn+1=2k+1+2m+1=2（m+k+1）=2×A×B，
∴当n≥2时，pn+pn+1一定可以表示为三个或三个以上的不小于2的正整数（在这些正整数中，允许有相同的数）的乘积．