Question

基本模型
如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，
（1）模型拓展
如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？
（2）模型应用
①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；
②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？

Answer

（1）由∠A=180°-（∠B+∠APB）和∠CPD=180°-（∠1+∠APB），可得出∠B=∠1，则∠A=∠CPD，从而证明△ABP∽△PCD；
（2）①由四边形ABCD是等腰梯形，则∠B=∠C，∠B=∠APQ=∠C，再由（1）知，△ABP∽△PCD，从而得出CQ；
②设BP=x，CQ=y．由∠B=∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，再由相似三角形的性质，得出y与x之间的函数关系式，即y=-x2+x=-（x-）2+，根据二次函数的性质得出答案．
【解析】
（1）成立，
∵∠A=180°-（∠B+∠APB），
∠CPD=180°-（∠1+∠APB），
∠B=∠1，
∴∠A=∠CPD，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；

（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠APQ，
∴∠B=∠APQ=∠C，
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴=，
∴=，
∴CQ=；
②设BP=x，CQ=y．
∵∠B=∠APQ=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴=，即=，
∴y=-x2+x=-（x-）2+，
∴当x=时，y最大=，
即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．