Question

如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如：矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点．同样，点D也是A，B两点的勾股点．

（1）如图1，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数．
（3）如图2，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=4 cm，DM=8 cm，AN=5 cm．动点P从D点出发沿着DC方向以1 cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动．设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上．
①当t=4时，求PH的长．
②探究满足条件的点H的个数（直接写出点H的个数及相应t的取值范围，不必证明）．

Answer

（1）以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点就是A，B两点在CD上的勾股点；
（2）当矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，此时以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点；
（3）①如图，当t=4时，PM=8-4=4，QN=5-4=1，分三种情况：
当∠MHN=90°时，根据已知条件可以证明△PMH∽△QHN，然后利用相似三角形对应线段成比例即可求出PH；
当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4-x，根据勾股定理得到PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，而MN==5，依次即可求出PH''；
当∠H'MN=90°时，根据勾股定理得到H'P2+PM2+QH'2+QN2=MN2，而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，依次即可求出PH'．
②利用①的结果可以探究满足条件的点H的个数及相应t的取值范围．
【解析】
（1）如图，以线段AB为直径的圆与线段CD的交点，或线段CD的中点E就是所勾股点；

（2）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=1时，
∴以线段AB为直径的圆与线段CD的交点有两个，加上C、D两点，总共四个点4个；

（3）①如图，当t=4时，PM=8-4=4，QN=5-4=1，
当∠MHN=90°时，
∵∠MPH=∠HQN=90°，
∴△PMH∽△QHN，
∴PH：QN=PM：HQ，
而PH+HQ=BC=4，
∴PH=2；
当∠H''NM=90°时，设PH=x，那么H''Q=4-x
依题意得PM2+PH''2=QN2+H''Q2+MN2，
而MN==5，
∴PH=；
当∠H'MN=90°时，QH'2+QN2-（H'P2+PM2）=MN2，
而H'Q=PH'+PQ=PH'+4，
∴PH=3．
∴PH=或PH=2或PH=3．
②当0≤t＜4时，有2个勾股点；
当t=4时，有3个勾股点；
当4＜t＜5时，有4个勾股点；
当t=5时，有2个勾股点；
当5＜t＜8时，有4个勾股点；
当t=8时，有2个勾股点．
综上所述，当0≤t＜4或t=5或t=8时，有2个勾股点；当t=4时，有3个勾股点；当4＜t＜5或5＜t＜8时，有4个勾股点．