Question

如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
（1）试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若EC=4，ED=2，AC=6，求CD的长．

Answer

（1）利用切线的性质与判定得出∠3=∠4，进而得出△ABO≌△ACO，进而利用切线的判定得出即可；
（2）利用平行线性质以及勾股定理和切线的性质求出即可．
【解析】
（1）AE是⊙O的切线，
证明：连接CO，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵CD∥AO，CO=DO，
∴∠1=∠2，∠2=∠4，∠1=∠3，
∴∠3=∠4，
∵CO=BO，AO=AO，
∴，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴∠ABO=∠ACO=90°．
∴AE与⊙O相切于点C；

（2）∵CD∥AO，
∴==，
∵EC=4，ED=2，AC=6，
∴=，
∴DO=3，
∴BO=3，
∵AC，AB是⊙O的切线，
∴AC=AB=6，
∴AO==3，
∴==，
∴CD=．