Question

如图，点D双曲线上，AD垂直x轴，垂足为A，点C在AD上，CB平行于x轴交曲线于点B，直线AB与y轴交于点F，已知AC：AD=1：3，点C的坐标为（2，2）．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）求△OFA的面积．

Answer

（1）由点C的坐标为（2，2）得AC=2，而AC：AD=1：3，得到AD=6，则D点坐标为（2，6），然后利用待定系数法确定双曲线的解析式；
（2）已知A（2，0）和B（6，2），利用待定系数法确定直线AB的解析式，得到F点的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【解析】
（1）∵点C的坐标为（2，2），AD垂直x轴，
∴AC=2，
又∵AC：AD=1：3，
∴AD=6，
∴D点坐标为（2，6），
设双曲线的解析式为y=，
把D（2，6）代入y=得，k=2×6=12，
所以双曲线解析式为y=；

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵CB平行于x轴交曲线于点B，
∵双曲线的解析式为y=，
∴B（6，2）
∴把A（2，0）和B（6，2）代入y=kx+b得，2k+b=0，6k+b=2，解得k=，b=-1，
∴线AB的解析式为y=x-1，
令x=0，得y=-1，
∴F点的坐标为（0，-1），
∴S△OFA=×OA×OF=×2×1=1．