Question

如图，在直角坐标系中，已知P的坐标为（1，0），将线段OP绕O按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的3倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁绕O点按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的3倍，得到线段OP₂；如此下去，得到线段OP₃，OP₄，…，Op_n（n为正整数），则△P₂₀₀₉OP₂₀₁₀的面积    ．

Answer

求出OP1、OP2、OP3的长，得出规律求出OP2010的长，根据经过8次P8落在x轴的正半轴上，得到OP2010在y轴上，OP2009在第一象限角的平分线上，求出三角形的高，根据三角形的面积求出即可．
【解析】
OP1=3OP=3×1=3，
同理OP2=30P1=3×3×1=32，
OP3=3OP2=33，
…
OP2009=32009，OP2010=32010，
∵360°÷45°=8，
即经过8次P8落在x轴的正半轴上，
∴2010÷8=251…2，
即OP2010在y轴上，OP2009在第一象限角的平分线上，
如图：过P2009作P2009C⊥y轴于C，
由勾股定理求出P2009C=，
∴△OP2009P2010的面积是×OP2010×CP2010=×32010×=，
故答案为：．