Question

整数a使得关于x，y的方程组对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值．

Answer

用代入法消去x，得y的方程：2y2+（3a-b）y-（b2-2a2+3b+4）=0，根据题意得△≥0，即△=（3a-b）2+4×2（b2-2a2+3b+4）≥0，整理为9b2+6b（4-a）+（32-7a2）≥0，把它看作为关于b的二次函数，并且函数值大于或等于0，再得△=36（4-a）2-4×9（32-7a2）≤0，整理得a2-a-2≤0，解得-1≤a≤2，由此求出整数a的值．
【解析】
由第一个方程得：x=2y+3a-b，然后把x代入第二个方程得关于y的方程：2y2+（3a-b）y-（b2-2a2+3b+4）=0，
则根据题意得△≥0，即△=（3a-b）2+4×2（b2-2a2+3b+4）≥0，
∴9b2+6b（4-a）+（32-7a2）≥0，由于b取每一个实数都成立，把它理解为函数z=9b2+6b（4-a）+（32-7a2）的图象不在横轴的下方，而开口向上，所以满足△≤0，即△=36（4-a）2-4×9（32-7a2）≤0，整理得a2-a-2≤0，
∴（a-2）（a+1）≤0，
所以-1≤a≤2，
则整数a的值为-1，0，1，2．