Question

对某些正整数n，数2ⁿ和5ⁿ在十进制表示下首位数字相同．那么所有这样的首位数字为    ．

Answer

首先把2n范围写出a×10k＜2n＜（a+1）×10k，同理写出a×10l＜5n＜（a+1）×10l，两式相乘可得a2×10k+l＜10n＜（a+1）2×10k+l，进一步求出a2＜10＜（a+1）2，于是求出a的值．
【解析】
a×10k＜2n＜（a+1）×10k，
a×10l＜5n＜（a+1）×10l，
将两式相乘，得a2×10k+l＜10n＜（a+1）2×10k+l…①，
注意到a2大于等于1，而（a+1）2小于等于100，于是
10k+l＜10n＜10k+l+2，故n=k+1+1，从而①式变为
a2＜10＜（a+1）2，
解得a=3．
故答案为3．