Question

如图所示，在直角坐标系中，矩形OBCD的边长OB=4，OD=2，点P是射线OB上一个动点，动点Q在PB或其延长线上运动，OP=PQ，作以PQ为一边的正方形PQRS，点P从O点开始沿射线OB方向运动，运动速度是1个单位/秒，运动时间为t秒，直到点P与点B重合为止．
（1）设正方形PQRS与矩形OBCD重叠部分的面积为y，写出y与t的函数关系式；
（2）y=2时，求t的值；
（3）当t为何值时，三角形CSR为等腰三角形？

Answer

（1）本题要分两种情况．
①当RQ≤BC时，即当0≤t≤2时，重合部分是正方形PSRQ的面积，因此y=t2．
②当RQ＞BC时，即2＜t≤4时，重合部分是个矩形，且以（4-t）为长，以BC为宽，因此此时的函数关系为y=2（4-t）．
（2）由于（1）是分段函数，先根据t的值，确定所在的取值范围，然后代入所符合的函数关系式中求解即可．
（3）当BC垂直平分PQ时，即B为PQ的中点时，△CRS是等腰三角形．
【解析】
（1）y=t2；（0≤t≤2）
y=-2t+8．（2＜t≤4）

（2）y=2分别代入分段函数式．
2=t2
t=或t=-（舍去）．
2=-2t+8
t=3
当t=3或t=时，y的值为2．

（3）从图上可知PB=4-t，BQ=2t-4，
PB=BQ，
4-t=2t-4
t=．
当t=时，△CSR为等腰三角形．