Question

在平面直角坐标系中，设点A（0，4）、B（3，8）．若点P（x，0），使得∠APB最大，则x=（ ）
A．3
B．0
C．4
D．

Answer

当以AB为弦的圆C与x轴相切时，∠APB最大．设点C（x，y），根据切线的性质及同圆的半径相等，列出方程组即可求解．
【解析】
如图，以AB为弦作圆C与x轴相切，切点为P．
在x轴上选取一个异于点P的任一点，例如P'点，连接AP、BP、AP′、BP′，则必有∠1=∠2＞∠3．
故此时∠APB最大．
连接CP，则CP⊥x轴，所以C点横坐标与P点横坐标相等．设点C（x，y）．
∵CP=CA=CB，
∴y2=x2+（y-4）2=（x-3）2+（y-8）2，
由y2=x2+（y-4）2，得8y=x2+16             ①，
由y2=（x-3）2+（y-8）2，得x2-6x+73-16y=0 ②，
①代入②，整理得x2+6x-41=0，
解得x1=5-3，x2=-5-3（不合题意舍去）．
故选D．