Question

如图，在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，在边AB上取点D，在CA的延长线上取点E，使AC•CE+AB•BD=BC²
求证：（1）∠CEB＞∠ABC；
（2）BE=2CD．

Answer

（1）延长CE到F，使EF=2BD，由∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，可得∠ACB=90°，又AC•CE+AB•BD=BC2，等量代换可得AC（CE+2BD）=BC2，即，则△ABC∽△BFC，∠ABC=∠F，根据三角形外角的性质，即可证得；
（2）∠F=30°，则BF=2BC，易证△EFB∽△DBC，即可证得BE=2CD．
证明：（1）延长CE到F，使EF=2BD，
∵在△BCE中，∠ACB=∠CAB+30°=∠ABC+60°，
∴∠ACB=90°，∠ABC=30°，∠CAB=60°，
∴AB=2AC，
∵AC•CE+AB•BD=BC2，
∴AC（CE+2BD）=BC2，
∴AC×CF=BC2，
即，
∴△ABC∽△BFC，
∴∠ABC=∠F=30°，
∵∠CEB＞∠F，
∴∠CEB＞∠ABC；

（2）∵∠F=30°，∠FCB=90°，
∴FB=2BC，又∠F=∠CBD，EF=2BD，
∴△EFB∽△DBC，
∴===，
∴BE=2CD．