Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．
（1）求证：四边形AEOF为菱形；
（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．

Answer

（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，连接OC，根据等腰三角形的性质证出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；
（2）根据角平分线定理求出OQ=OM，根据勾股定理求出BQ=BM，根据垂径定理即可推出结论．
证明：（1）连接AO并延长AO交BC于M过O作OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠BAC=∠ABO，
∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，
∵OE=OB，OC=OF，
∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，
∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，
∴AE∥OF，AF∥OE，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵OE=OF，
∴平行四边形AEOF为菱形．

（2）∵圆O过B、C，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵BO平分∠ABC，OQ⊥AB，
∴OQ=OM，
∴由勾股定理得：BM=BQ，
由垂径定理得：BE=BC．