Question

如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm 的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A-D-C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．
（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？
（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．
（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．
变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．

Answer

（1）线段EF和BC平行时，AE=DF，2-t=2t-2，解方程就可以求出其t值．
（2）当EF与半圆O相切时，根据切线的性质，作辅助线如图，利用勾股定理和相似三角形的性质就可以求出其t的值．
（3）当1≤t＜2时，△AEP∽△CFP，就可以求出点P的位置不会发生变化AP：PC=AE：CF，而AE：CF是个定值为．
变式（1），当F点在CD的延长线上在Rt△EHF中；当E点重合于D点时，在Rt△EHD中；当F点在DC上，在Rt△EHF中；运用切线的性质及勾股定理建立等量关系就可以求出y关于x的函数关系式．
（2）假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，从而得出2-x+2+y=x+2+2-y，可以求出x与y的关系，代入图3的解析式就可以求出其值．
【解析】
（1）如图1，设E、F出发后运动了t s时，有EF和BC平行．
则BE=t，DF=2t-2．
∴t=4-2t．
解得t=．
∴当t=s时，线段EF和BC平行．

（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切．
作OM⊥EF于点M，ON∥CF交EF于点N，KF∥BC交AB于点K，如图2．则
OM=1，BE=t，CF=4-2t，EK=t-（4-2t）=3t-4，ON=[t+（4-2t）]=2-t．
在Rt△OMN中，MN2=ON2-OM2=4t2-8t+3．
∵△OMN∽△FKE，∴，
将有关数据代入上式并整理，得2t2-4t+1=0
解得t=．
∵1＜t＜2，∴t=．
∴当t=s时，线段EF与半圆相切．

（3）当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化．
证明：设1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图
则BE=t，AE=2-t，CF=4-2t
∴
又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP
∴，即点P的位置与t的取值无关．
∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为．
变式题答案：

（1）如图（1），当F点在CD的延长线上，过E作EH⊥DC，交DC于F点，易证EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2，
在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，
即22+（y+2-x）2=（x+2+y）2，
整理得xy+2x-1=0，
∴
∵1-2x＞0
∴
∴点F在DC上的函数关系式为（）
如图（2），当E点重合于D点时，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2，
∴DH=DC-HC=2-x，
即在Rt△EHD中，ED2=EH2+HD2，
∴（x+2）2=22+（2-x）2，
解得，
如图（3），当F点在DC上，在Rt△EHF中，
由勾股定理得EH2+FH2=EF2，
即22+（y-2+x）2=（x+2-y）2，
整理得xy=2x-1，
∴，
∵2x-1＞0，
∴，
∴点F在DC上的函数关系式为（）；

（2）如图（3），假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，
∴2-x+2+y=x+2+2-y整理得x=y
由上面可知，=x，解得x=1，
∴存在切线EF，把正方形的周长分成相等的两部分，此时x=1．