Question

如图，抛物线y=-x²+2nx+n²-9（n为常数）经过坐标原点和x轴上的另一点C，顶点在第一象限．
（1）确定该抛物线的解析式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P在该函数图象上，且点P到x轴的距离为8，求出点P的坐标．

Answer

（1）将原点代入解析式，可求出n的值，根据顶点坐标在第一象限，可得出n的值，即可得抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的对称轴x=-，即可求出；然后，把x的值代入解析式即可求出顶点的纵坐标；
（3）设点P的坐标为：（x，8）或（x，-8），代入解析式，求出x的值，即可解答；
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+2nx+n2-9（n为常数）经过坐标原点，
∴可得，0=n2-9，解得n=±3，
又∵顶点在第一象限，
即x=＞0，得n＞0，
∴n=3，
∴该抛物线的解析式为：y=-x2+6x；

（2）抛物线的对称轴为：x==3，
∴y=-9+18=9，
∴抛物线的顶点坐标为：（3，9）；

（3）根据题意，
设点P的坐标为：（x，8）或（x，-8），
∴8=-x2+6x或-8=-x2+6x，
整理得x2-6x+8=0或x2-6x-8=0，
解得x=2或x=4；x=；
∴点P的坐标为：（2，8）或（4，8）或（，-8）或（，-8）．