Question

如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，-3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．

Answer

（1）依题意联立方程组求出a，b的值后可求出函数表达式．
（2）分别令x=0，y=0求出A、B、C三点的坐标，然后易求直线CM的解析式．证明四边形ANCP为平行四边形可求出点P的坐标．
（3）求出直线y=-x+3与坐标轴的交点D，B的坐标．然后证明∠AFE=∠ABE=45°，AE=AF，可证得三角形AEF是等腰直角三角形．
（4）根据（3）中所求，即可得出当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论仍成立．
【解析】
（1）根据题意，得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3；

（2）存在．连接AP，CP，
如下图所示：

在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x2-2x-3=0，
∴x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）2-4，
∴顶点M（1，-4），
容易求得直线CM的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴N（-3，0），
∴AN=2，
在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2．
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN∥CP，
∴四边形ANCP为平行四边形，此时P（2，-3）；

（3）
△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直线y=-x+3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，
∴∠OBD=45°，
又∵点C（0，-3），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45度，
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形；

（4）当点E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论：△AEF是等腰直角三角形成立．