Question

已知二次函数y₁=ax²+bx+1（a＞0），一次函数y₂=x．
（1）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；
（2）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2，求a、b的值；
（3）若二次函数y₁的图象与一次函数y₂的图象有两个交点（x₁，0）（x₂，0），且满足x₁＜2＜x₂＜4，此时设函数y₁的对称轴为x=x，求证：x＞-1．

Answer

（1）将直线的解析式代入抛物线的解析式后，由根的判别式可以得出a与b之间的关系．
（2）将交点的横坐标代入ax2+bx+1=x与（1）求出的a与b之间的关系式构成方程组就可以求出a、b的值．
（3）根据两根的取值范围代入函数的解析式建立两个不等式，将其不等式进行变形求出对称轴的表达式，从而可以得出需要证明的结论
【解析】
（1）由题意可知一元二次方程ax2+bx+1=x有两个相等的根
∴△=（b-1）2-4a=0
a与b之间的关系便是（b-1）2=4a；

（2）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，且这个交点的横坐标是2
则 ax2+（b-1）x+1=0
有且仅有一解 x=2
4a+2b-1=0
∵（b-1）2=4a，
∴（b-1）2+2b-1=0
∴b2=0，
解得 b=0，
∴1=4a，
∴a=，
故a=，b=0；

（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4
则 ax2+（b-1）x+1=0 有两不同实根x1，x2，且x1＜2＜x2＜4，a＞0
故x=2时 ax2+（b-1）x+1＜0，x=4时 ax2+（b-1）x+1＞0
∴4a+2b-1＜0    ①
16a+4b-3＞0   ②
由②-①×3，得
4a-2b＞0
∴b＜2a
∵a＞0
∴＜1
∴-＞-1
∴y1的对称轴为x=x=-
∴x＞-1．