Question

如图，等腰梯形ABCD的BC边位于x轴上，A点位于y轴上，∠ABC=45°，BD平分AO（O为坐标原点），并且B（-1，0）．
（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2）P为（1）中抛物线上异于B的一点，过B、P两点的直线将梯形ABCD分成面积相等的两部分，求P点的坐标；
（3）在（1）中抛物线上是否存在点Q使△ABQ为直角三角形？若存在，求△ABQ的面积；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）根据B点的坐标可以求出OB的长度，通过解直角三角形可以AO的长度而求出A点的坐标及AB的长度，然后求出AD的长度根据解直角三角形求出C点的坐标，最后利用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）如图根据条件中的面积关系求出△BCE的BC边上的高，即知道E点的总坐标，再 根据C、D的坐标求出CD的解析式，利用E点的纵坐标求出E点的坐标，再求出直线BE的解析式，最后代入抛物线的解析式求出P点坐标．
（3）如图分为两种情况使△ABQ为直角三角形，利用三角形的角的特殊关系45°求出线段的长度，从而求出Q点的坐标，根据Q点的坐标求出△ABQ的面积．BO，BD平分
【解析】
（1）∵AD∥BO，BD平分AO
∴AD=BO
∵等腰梯形ABCD的∠ABC=45°
∴OC=2OB，OA=OB
即A（0，1），B（-1，0），C（2，0）
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），把A（0，1）代入得，a=-
∴抛物线的解析式为：y=-+x+1；

（2）设直线BP交CD于E（m，n），由题意知2S△BEC=S梯形ABCD
∴2×=
∴n=
用待定系数法求出直线CD的解析式为：y=-x+2
把E点的坐标代入CD的解析式得m=
∴E（，）
用待定系数法求出BE的解析式为y=x+，
与抛物线的解析式y=-+x+1建立方程组求得
∴P（，）

（3）存在
①当∠BAQ=90°时，如图，AQ与x轴交于F，做QH⊥x轴于H，设Q（m，t）
∴△ABF、△QHF都为等腰直角三角形
∴F（1，0），QH=FH，即-t=m-1，t=-m2+m+1，求得m=3
∴QH=FH=2
∴AQ=AF+FQ=3
∴S△ABQ=+=3
②当∠ABQ=90°时，作QG⊥x轴于G，设Q（a，b）
∴△QGB为等腰直角三角形
∴QG=BG，即-b=a+1
∵b=-a2+a+1，
解得a=4，
∴BG=5，BQ=5
∴S△ABQ==5
综上所述，S△ABQ=3或5．