Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的切线BF上，过C作直线CE⊥BF，交⊙O于点D、点E，连接AE、
AD和BD．
（1）请找出一对相似三角形，并证明你的结论；
（2）若CD=1，AB=5，求tan∠ADE的值．

Answer

（1）由已知BF是⊙O的切线，可推出∠CBD=∠BAD，又AB是⊙O的直径，CE⊥BF，所以∠ADB=∠BCD=90°，所以△ADB∽△BCD．
（2）已知CE⊥BF，点C在⊙O的切线BF上，∴∠ABC=∠DCF，则AB∥CE，∴∠ADE=∠BAD，所以求出tan∠BAD即得tan∠ADE的值．由（1）△ADB∽△BCD得=，则能求出BD，再根据勾股定理求出AD，所以求出tan∠BAD．
【解析】
（1）△ADB∽△BCD．
∵已知BF是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠BAD，
又AB是⊙O的直径，CE⊥BF，
∴∠ADB=∠BCD=90°，
∴△ADB∽△BCD．

（2）已知CE⊥BF，点C在⊙O的切线BF上，
∴∠ABC=∠DCF，
∴AB∥CE，
∴∠ADE=∠BAD，
∵△ADB∽△BCD，
∴=，
∴BD2=CD•AB=1×5=5，
∴BD=，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD===2，
∴tan∠BAD===，
∴tan∠ADE=tan∠BAD=．