Question

已知：将一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB中点，将Rt△DEF绕着点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．
（1）猜想：在旋转过程中，AG与DH的数量关系是：______；
（2）就旋转角α的情况，请选择图②、③、④中的一种情况，对你的猜想进行证明．
友情提示：若选择图②（即α=30°时），满分为8分；若选择图③（即α=60°时），满分为10分；选择图④（即任意情况0°＜α＜90°时）．

Answer

（1）相等，根据等腰三角形的性质推出DH=BD，AG=AD即可；
（2）求出∠AMD=90°=∠CMD，得出矩形CMDN，推出∠DNB=90°，根据直角推出∠MDA=∠B，∠A=∠NDB，根据AAS证△ADM和△DBN全等，推出AM=DN，根据AAS证△AGM和△DHN全等即可．
【解析】
（1）AG和DH的数量关系是相等，
理由是：如图2，∵∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB中点，
∴∠B=60°，CD=BD=AD，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB=60°，CD=BD=BC，
∵CH⊥AB，
∴DH=BH=DB，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDA+∠CDB=90°，
∴∠MDA=90°-60°=30°=∠A，
∴AM=MD，
∵MG⊥AD，
∴AG=GD=AD，
∵AD=BD，
∴AG=DH．

故答案为：相等．

（2）结论是AG=DH，
证明：选图3，
∵∠A=30°，∠EDA=α=60°，
∴∠AMD=90°=∠CMD，
∵∠C=∠EDF=90°，
∴四边形CMDN是矩形，
∴∠CND=90°=∠DNB，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠B=60°=∠EDA，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDB=180°-90°-60°=30°=∠A，
在△AMD和△DNB中
，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN，
∵MG⊥AB，NH⊥AB，
∴∠MGA=∠NHD=90°，
在△AGM和△DHN中
，
∴△AGM≌△DHN，
∴AG=DH．
选④
证明：∵在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B，
∵∠AGM=∠BHN=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴=①，
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH，
∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴△MGD∽△DHN，
∴=②，
①×②得：•=•，
=，
=，
∴由比例性质得：=，
即=，
∵AD=BD，
∴AG=DH．