Question

四边形ABCD是正方形，AC交BD于点O．直角三角尺的一条直角边始终垂直于AD，垂足为F，且直角顶点P在直线BD上滑动（点P不与B、D重合），另一直角边交AB于点E．
（1）当点P与点O重合时，通过观察与测量，猜想△OEF的形状是______．
（2）如图1，当点P为BD上任意一点时，猜想△OEF的形状是______．并证明你的结论．
（3）如图2，当点P为BD延长线上一点时，且直角三角尺的一条直角边与DA的延长线交于点F时，猜想此时△OEF的形状，不需要说明理由．

Answer

（1）当点P与点O重合时，OEAF为正方形，所以△OEF是等腰直角三角形；
（2）△OEF是等腰直角三角形．证明△OAF≌△OBE；
（3）结论及原因同（2）．
【解析】
（1）△OEF是等腰直角三角形．

（2）△OEF是等腰直角三角形．
∵ABCD是正方形，
∴OA⊥OB，OA=OB．
∴∠OBE=∠OAF=45°．
∵PF⊥AD，∠EPF=∠BAD=90°，
∴AEPF是矩形，
∴AF=EP=EB．
∴△OAF≌△OBE，
∴OF=OE；∠AOF=∠BOE．
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴△OEF是等腰直角三角形．

（3）△OEF是等腰直角三角形．
理由同（2）．