Question

如图，已知：一次函数：y=-x+4的图象与反比例函数：y=（x＞0）的图象分别交于A、B两点．点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M₁、M₂，设矩形MM₁OM₂的面积为S₁；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N₁、N₂，设矩形NN₁ON₂的面积为S₂；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S₁关于x的函数表达式，并求出S₁的最大值及相应的x的值；
（2）填空：
①当S₁=S₂时，x=______；
②当S₁＞S₂时，x的取值范围是______；
③当S₁＜S₂时的取值范围是______．

Answer

（1）根据点M的坐标，利用矩形的面积公式列式整理即可得解；
（2）根据反比例函数系数的意义可以求出S2=3，然后利用二次函数图象的增减性进行解答即可．
【解析】
（1）根据题意，S1=xy=x（-x+4），
=-x2+4x，
=-（x-2）2+4，
∴S1关于x的函数表达式为：S1=-（x-2）2+4，
当x=2时，S1的最大值，最大值为4；

（2）根据二次函数的增减性，当x＜2时，S1的值随x的增大而增大，
当x＞2时，S1的值随x的增大而减小，
∴①当S1=S2时，-x2+4x=3，
x2-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
∴x-1=0，x=3，
解得x1=1，x2=3，
②当S1＞S2时，1＜x＜3；
③直线y=-x+4与x轴的交点坐标为（4，0），
∴当S1＜S2时，0＜x＜1或3＜x＜4．
故答案为：（1）S1=-（x-2）2+4；（2）①1或3，②1＜x＜3，③0＜x＜1或3＜x＜4．