Question

如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过两点C（-2，5）与D（2，-3），且与x轴相交于A、B两点，其顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）求△ABM的面积；
（3）在二次函数图象上是否存在点P，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+m（m＜1）与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？

Answer

（1）利用待定系数法将点C、点D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标M．
（2）当y=0时，求出抛物线与x轴的交点坐标就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积．
（3）设出点P的坐标为（a，b），根据条件S△PAB=S△MAB建立等量关系就可以求出P点的坐标．
（4）当直线y=x+m（m＜1）经过点A（-1，0）时，可以求出m的值，当直线y=x+m（m＜1）经过点B（3，0）时可以求出m的值，再 根据图象就可以求出m的取值范围．
【解析】
（1）∵点C（-2，5）与D（2，-3）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
∴，解得：，
抛物线的解析式为：y=x2-2x-3，
∴y=（x-1）2-4
M（1，-4）

（2）当y=0时，则x2-2x-3=0，
∴x1=3，x2=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S△ABM==8．

（3）设点P的坐标为（a，a2-2a-3），当点P在x轴的上方时，
∴4（a2-2a-3）×=，解得：
a1=4，a2=-2，
∴P（4，5）或（-2，5），
当点P在x轴的下方时的点不存在．
∴P（4，5）或（-2，5）．

（4）如图，当直线y=x+m（m＜1）经过点A（-1，0）时
∴0=-1+m，
∴m=1，
当直线y=x+m（m＜1）经过点B（3，0）时，
∴0=3+m，
∴m=-3
∵m＜1，由图象得：
-3＜m＜1．