Question

如图，等边三角形ABC的边长为，它的顶点A在抛物线上运动，且BC∥x轴，点A在BC的上方．
（1）当顶点A运动至原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？请说明理由．
（2）△ABC在运动过程中被x轴分成两个部分，若上下两部分的面积之比为1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8），求顶点A的坐标．
（3）△ABC在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，求顶点C的坐标．

Answer

（1）根据等边三角形的性质，求出当点A与原点重合时C点的坐标，再将C点的坐标代入抛物线的解析式就可以判断点C是否在抛物线上．
（2）由于在移动的过程中在x轴上方的三角形始终与原三角形相似，当上下两部分的面积之比为1：8时，则上部分的面积与三角形的面积之比为1：9，利用相似三角形的性质可以求出其顶点坐标．
（3）由题意可知三角形在移动中点B落在坐标轴上有三种情况，根据三种不同的位置情况和等边三角形的性质利用等边三角形变的长度求出B点的坐标．
【解析】
（1）当点A与原点重合时，根据等边三角形的得到点C的坐标为（，-3）
当x=时，代入抛物线的解析式得：y=-3
∴点C的坐标满足抛物线的解析式
∴点A运动至原点重合时，点C是在该抛物线上．

（2）设点A的坐标为（x，y），y＞0，△ABC与轴相交于点M、N
∵S△AMN：S四边形BCNM=1：8
∴S△AMN：S△ABC=1：9
∵BC∥x轴
∴△AMN∽△ABC
∴
∴y=1
∵点A在抛物线上
∴
解得：
∴A的坐标为：（，1），（，1）

（3）第一种情况：点B落在X轴上，即BC与x轴重合
∴点A的纵坐标为3，代入解析式求得点A的横坐标：

∴点C的横坐标为：
∴点C的坐标为：（2+，0），2-，0）
第二种情况：点B在y轴上，由图得点A的横坐标为：x=，将其代入抛物线的解析式为
y=3-6=-3
∴点C的纵坐标为-6，横坐标为：2
∴C（2，-6）
综上所述，点C的坐标为：
（2+，0），2-，0），（2，-6）