Question

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．点P、Q分别是BC边和AB边上的动点，点P从点C向点B运动，点Q从点A向点B运动，QR⊥BC，垂足为R，设P、Q同时运动，并且当P运动4x单位长度时，Q运动5（1-x）单位长度．是否存在x的值，使以P、Q、R为顶点的三角形与△ACP相似？若存在，求出所有x的值；若不存在，说明理由．

Answer

根据相似三角形的判定与性质，当若点P，R，Q分别与点P，C，A对应，当若点P，R，Q分别与点A，C，P对应，分别分析得出x的长度即可．
【解析】
存在x的值，使以P，Q，R为顶点的三角形与△ACP相似．
∵BQ=5x，有相似三角形求得：BR=4x，QR=3x，
①当P在C，R之间时，PR=4-8x，
若△PRQ∽△ACP，则PR：AC=RQ：CP，
即：，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，则QR：AC=RP：CP，
即：，
∴x1=-1，x2=--1（舍），
②当P在B，R之间时，PR=8x-4，
若△PRQ∽△ACP，则PR：AC=RQ：CP，
即：，
∴x=，
若△QRP∽△ACP，则QR：AC=RP：CP，
即：，
∴x1=x2=1（舍）
综上所述：存在x的值，x1=-1，x2=，x3=．