Question

已知：如图，△ABC中，BC=7，高AD=3，∠B=45°，垂直于BC的动直线FM、GN分别从B、C两点同时出发，向直线AD所在的位置平移，直到与AD重合为止．其中M、N为垂足，F、G是两直线分别与AB、AC的交点．且在平移过程中始终保持FG∥BC，设FM=x．
（1）试用含x的代数式表示FG；
（2）若点E与点B关于FM成轴对称，点H与点C关于GN成轴对称，在平移过程中
①x为何值时，点E和点H重合？
②设点E、F、G、H围成的四边形的面积为S，若H运动到B停止，试写出S关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

Answer

（1）由FC与BG平行，根据两直线平行得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得三角形AFG与三角形ABC相似，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，得到一个比例式，把相应的值代入即可用x表示出FG；
（2）由∠B=45°，AD与BC垂直，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得AD=BD=3，从而用BC-BD求出CD，再利用勾股定理求出AC，又三角形BFM为等腰三角形，由FM=x，表示出弧BE，根据一对直角相等，且一对公共角，得到三角形CGN与三角形CAD相似，根据相似得比例，把相应的值代入，用x表示出CN，进而表示出CH，
①当E与H重合时，由图形得到BE+CH=7，把表示出的BE及CH代入列出关于x的方程，求出x的值即可；
②分两种情况考虑：E在BD上和E在CD上，分别表示出EH，根据题意可知四边形EFGH为梯形，再由FG，FM及表示出的EH，利用梯形的面积公式即可表示出四边形的面积S，并求出相应的x的范围即可．
【解析】
（1）∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，
∴△AFG∽△ABC，又AD⊥BC，则AD⊥FG，
∴=，又FM=PD=x，AD=3，BC=7，
∴=，
∴FG=-x+7；（3分）

（2）∵∠B=45°，AD⊥BC，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，CD=BC-BD=4，根据勾股定理得：AC==5，
又根据题意得：△BFM为等腰直角三角形，且FM=x，
∴BE=2BM=2FM=2x，
∵∠GNC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
∴△CGN∽△CAD，
∴，又CD=4，AD=3，GN=FM=x，
∴CN=x，
∴CH=2CN=x，
①当E与H重合时，则有BE+HC=2x+x=7，解得x=；（4分）
②当E在BD上时，如图1，
∵EH=7-2x-x=7-x，
∴S四边形EFGH=（FG+EH）•FM=（-x+7+7-x）•x=-x2+7x（0＜x＜）；（9分）
当E在CD上时，如图2，
∵CE=7-2x，BH=7-x，
∴HE=7-（7-2x）-（7-x）=x-7，
∴S四边形EFGH=（FG+HE）•FM=（x-7+7-x）•x=x2（＜x≤）．（12分）