Question

如图1，已知△ABC，绕点C旋转180°后，得到△C′B′C．
（1）指出下列结论正确的是______（填序号）
①△ABC≌△C′B′C；②AB=C′B′；③AB∥C′B′；④点C是线段BB′的中点．
（2）如图2，在线段AB上取一点D，连接B′D交AC于E，且使∠B′DB=120°，猜想∠A等于多少度时，AB=B′E？并说明理由．
（3）当∠B′DB≠120°时，（2）中的其他条件不变，如果AB=B′E的结论仍然成立，那么∠B′DB与∠A应满足什么数量关系？（直接写出结论，不必说明理由）

Answer

（1）由旋转的性质，可得△ABC≌△C′B′C，根据全等三角形的性质，可得AB=C′B′，B′C=BC，∠A=∠C′，则可得AB∥C′B′，点C是线段BB′的中点；
（2）由旋转的性质，可得△ABC≌△C′B′C，又∠B′DB=120°，可得∠EB′C′=60°，又AB=B′E，所以，△C′B′E是等边三角形，即可求出∠A的度数；
（3）同理可得B′E=B′C′，则∠C′=∠B′EC′，所以，∠A=∠AED，根据三角形外角的性质，可得出∠B′DB=2∠A；
【解析】
（1）①②③④；

（2）∠A=60°；
∵△ABC绕点C旋转180°得到△C′B′C，
∴△ABC≌△C′B′C，
∴AB=C′B′，∠A=∠C′，
∴AB∥C′B′，
∴∠EB′C′+∠B′DB=180°，
∵∠B′DB=120°，
∴∠EB′C′=60°，
∵AB=B′E，
∴C′B′=B′E，
∴△C′B′E是等边三角形，
即∠C′=∠B′EC′=60°，
∴∠A=60°；

（3）∠B′DB=2∠A．