Question

如图，EF是平行四边ABCD的对角线BD的垂直平分线，EF与边AD、BC分别交于点E、F． 
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若E为线段AD的中点，求证：AB⊥BD．

Answer

（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，易证得△OED≌△OFB，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形．
（2）根据证得的菱形可知，BE=ED，然后再利用E为线段AD的中点，即可证得三角形ABD为直角三角形，从而证得结论．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴▱BEDF是菱形．

（2）∵四边形BFDE是菱形
∴BE=ED，
∵E为线段AD的中点，
∴△ABE为直角三角形，
∴AB⊥BD．