Question

如图（1），直线y=kx-k²（k为常数，且k＞0）与y轴交于点C，与抛物线y=ax²有唯一公共点B，点B在x轴上的正投影为点E，已知点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在实数k，使经过D，O，E三点的圆与抛物线的交点恰好为B？若存在，请求出时k的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接CE，已知点F（0，1），直线FA与CE相交于点M，不论k取何值，在①∠EAM=∠ECA，②∠EAM=∠ACF两个等式中有一个恒成立．请判断哪一个恒成立，并证明这个成立的结论．

Answer

（1）由题意得，kx-k2=ax2，即ax2-kx+k2=0有两个相等的实数根，而k＞0，根据判别式，解答即可；
（2）由，得点B的坐标为（2k，k2），连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，所以，Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），得到BE=DO=4，即可得出k值；
（3）对y=kx-k2，令x=0，y=0，可得出C（0，-k2），A（k，0），又AF=1，则OA2=OF•OC，可得到△AFO∽△CAO，所以∠FAO=∠ACF，而∠FAO=∠EAM，即可解答．
【解析】
（1）∵直线y=kx-k2与抛物线y=ax2有唯一公共点B，
∴kx-k2=ax2，即ax2-kx+k2=0有两个相等的实数根，
∴（-k）2-4ak2=0，而k＞0，
∴a=，
∴y=x2；

（2）存在实数k，使得经过D、O、E三点的圆与抛物线的交点刚好为点B，
∵的解为，
∴点B的坐标为（2k，k2），
又∵点B在x轴上的正投影为点E，连接BE，
则BE⊥x轴于E，
∴E（2k，0），
∴DE⊥OB，DF=EF=OF，
连接OB、DE，则OB、DE均为过点D、0、E三点的圆的直径，
∴Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），
∴BE=DO，
∵D（0，4），
∴k2=4，
∴k=2（k＞0）；

（3）结论②∠EAM=∠ACF成立，
对y=kx-k2，令y=0，得x=k，
∴A（k，0），
∴OA=k，
令x=0，得y=-k2，
∴C（0，-k2），
∴OC=k2，
又∵F（0，1），
∴OF=1，
∴OA2=OF•OC，
∴，
又∵∠FOA=∠AOC=90°，
∴△AFO∽△CAO，
∴∠FAO=∠ACF，而∠FAO=∠EAM，
∴∠EAM=∠ACF．