Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标为O（0，0），A（2，0），B（2，2），把矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α度，使点B正好落在y轴正半轴上，得到矩形OA₁B₁C₁．
（1）求角α的度数；
（2）求直线A₁B₁的函数关系式，并判断直线A₁B₁是否经过点B，为什么？

Answer

（1）由于A（2，0），B（2，2），根据旋转知道A1B1=AB，OA=OA1，然后利用三角函数可以求出∠A1OB1的度数，再求出α的度数；
（2）利用勾股定理求出OB的长度，也就求出了B1O的长度，利用α的度数可以求出A1的坐标，再利用待定系数法求出直线A1B1的函数关系式，也可以判断直线A1B1是否经过点B．
【解析】
（1）∵A（2，0），B（2，2），
∴A1B1=AB=2，OA=OA1=2，
∴tan∠A1OB1=A1B1：OA1=2：2=1：，
∴∠A1OB1=30°，
∴α=60°；

（2）在Rt△A1B1O中，B1O==4，
∴B1的坐标为（0，4），
如图过A1作A1E⊥OA于E，
∵α=60°，
∴A1E=3，OE=，
∴A（，3），
设直线A1B1的解析式为y=kx+b，
依题意得，
∴k=-，b=4，
∴y=-x+4．
而B（2，2），
代入解析式中，左边=2，右边=-×2+4=2；
左边=右边，
∴直线A1B1经过点B．