Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c和一次函数g（x）=-bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a+b+c=0．
（1）求证：两函数的图象相交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A₁B₁长的取值范围．

Answer

（1）首先将两函数联立得出ax2-2bx+c=0，再利用根的判别式得出它的符号即可；
（2）利用线段AB在x轴上的射影A1B1长的平方，以及a，b，c的符号得出|A1B1|的范围即可．
【解析】
（1）联立方程得：ax2+2bx+c=0，
△=4（a2+ac+c2），
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；

（2）设方程的两根为x1，x2，则
|A1B1|2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2，
=（-）2-==，
=4[（）2++1]，
=4[（+）2+]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜＜-，
此时3＜A1B12＜12，
∴＜|A1B1|＜2．