Question

已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

Answer

要证MP分别与⊙A和⊙B相切，如图示，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=∠ADB=90°．在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得PA2=AC2=AE•AB，PB2=BD2=BF•AB．两式相减可得PA2-PB2=AB（AE-BF），又PA2-PB2=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），于是有AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，所以PE=PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDEF的中位线，于是得MP⊥AB，进而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．
证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F
∴CE∥DF，∠AEC=90°，∠BFD=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，
∴△ACB∽△AEC，
∴AC：AB=AE：AC
即PA2=AC2=AE•AB，
同理PB2=BD2=BF•AB．
两式相减可得PA2-PB2=AB（AE-BF），
∴PA2-PB2=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），
∴AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，
∴PE=PF，
∴点P是线段EF的中点．
∵M是CD的中点，
∴MP是直角梯形CDEF的中位线，
∴MP⊥AB，
∴MP分别与⊙A和⊙B相切．